M ục đích nghiên cứu, đố it ượ ng, phạm vi nghiên cứ u 12
4.2. Kết quả thực nghiệ m 75
Dưới đây là bảng thống kê kết quả chạy trên các bộ test chuẩn với các thông số
sau:
Best: Giá của cây khung tốt nhất mà giải thuật tìm được trên 20 lần chạy.
Best known: Giá của cây khung tốt nhất đã tìm được bởi giải thuật chính xác và một số giải thuật khác trước đây.
%: Được tính theo công thức sau: %: (Best – Best known)/Best known * 100%. Avg: Giá trị trung bình giá của cây khung được tính trên 20 lần chạy.
Gen: Số thế hệ chạy cho mỗi dữ liệu đầu vào.
Time: Gọi T (giây) là thời gian tối thiểu để chương trình chạy được G thế hệ thì
Time được tính bằng trung bình của T trên 20 lần chạy. Std:là độ lệch chuẩn.
+ Cách tính Avg và Std :
,
.
76
Prufer Netkey Encoding
Dữ liệu Lai gép Best known
Best % Avg Gens Std Time Best % Avg Gens Std Time Berry6 One Point 534 534 0 534.0 22 0 0.0 534 0 534.0 23 0 0.0 Berry35 One Point 16915 31903 88.8 46157.7 955 10205.8 74,5 30721 81.6 43731.8 1110 10283 111 Palmer6 One Point 693180 693180 0 693180.0 72.5 0 0.1 693180 0 693180.0 42 0 0.1 Palmer12 One Point 3428509 3428509 0 361624.4 280 206419.4 1.1 3428509 0 3521390.7 295 94988.4 3.1 Palmer24 One Point 1086656 1091172 0.4 1278584.1 890 102927 19.3 1128956 3.9 1351709.5 1430 185256.2 52
Raidl10 One Point 53674 53674 0 59354.5 210 8264.1 0.6 53674 0 56603 250 6038.5 1.2 Raidl20 One Point 157570 227626 44.5 337657.8 460 56666.2 7 180917 14.8 283385.9 990 55557.6 17.3 Raidl50 One Point 806864 2334487 189.3 2931802.8 1050 400448.2 232.7 1854093 186.2 2795373.5 2910 499058.1 704.2
77
LinkBiased Encoding (LB) NodeBiased Encoding (NB) Dữ liệu Lai gép Best
known
Best % Avg Gens std Time Best % Avg Gens std Time Berry6 One Point 534 534 0 534 10 5 0 534 0 534 10 0 0 Berry35 One Point 16915 16915 0 18009.1 550 790.1 40.1 16915 0 17049.8 405 351.5 26.2 Palmer6 One Point 693180 693180 0 693180 10 0 0 693180 0 693180 10 0 0
Palmer12 One Point 3428509 3428509 0 3485615.8 72 48956.
9 0.3 3428509 0 3428509 33,75 0 0.1
Palmer24 One Point 1086656 1089368 0.25 1251438.2 595 12204
3.5 34.7 1088154 0.1 1173384.9 380 64794 7.6 Raidl10 One Point 53674 53674 0 53674 70 0 0.2 53657 0 53647 10.25 0 0 Raidl20 One Point 157570 157570 0 161275.7 300 3502.6 5.1 157570 0 159860.8 255 3095 3.1
Raidl50 One Point 806864 873686 8.2 952194.8 1035 73833.
7 232.3 813059 0.8 843894.1 840 29075.1 132
78
The Link and Node Biased Encoding(LNB)
Dữ liệu Lai gép Best known
Best % Avg Gens std Time
Berry6 One Point 534 534 0 534 10 0 0
Berry35 One Point 16915 16915 0 17647.9 640 510 51.1 Palmer6 One Point 693180 693180 0 693180 10 0 0.1 Palmer12 One Point 3428509 3428509 0 3478602.2 76 36600.5 0.3 Palmer24 One Point 1086656 1089386 0.25 1209724.9 700 90326.2 19
Raidl10 One Point 53674 53674 0 53674 45 0 0.3 Raidl20 One Point 157570 157570 0 160373.8 330 2847.1 5.5 Raidl50 One Point 806864 856173 6.1 966897.3 1315 71303 286
Bảng 4.4 - Kết quả chạy các bộ test chuẩn sử dụng mã hóa LNB
Từ bảng kết quả trên ta có thể thấy phương pháp biểu diễn cây bằng chuỗi
Prufer là kém hiệu quả nhất trong năm phương pháp mã hóa được sử dụng. Thuật toán GA dùng mã hóa Prufer chỉ tìm được kết quả tối ưu hoặc gần tối ưu trên các bộ test với kích thước nhỏ (B6, P6, P12, P24 và R10). Trong khi đó phương pháp mã hóa NB cho thấy là phương pháp mã hóa hiệu quả nhất với thuật toán, vì nó tìm được kết quả tối ưu trên phần lớn các bộ test cũng như thời gian thực hiện. Một trong những lý do có thể
giải thích cho hiệu quả vượt trội so của chúng với các phương pháp mã hóa khác là nó có xu hướng tạo ra các cây khung dạng cây MST, mà trong bài toán OCST thì cây khung tối ưu thường có dạng là gần với cây MST và cây hình sao.
79
Phương pháp mã hóa LNB, là sự kết hợp của phương pháp mã hóa NB và LB
trong thuật toán lại cho kết quả không tốt hơn kết quả của thuật toán sử dụng các phương pháp mã hóa NB nhưng nó có kết quả tốt hơn phương LB.
Phương pháp mã hóa NetKeys cho chất lượng lời giải trung bình khi so sánh với các phương pháp mã hóa NB, LB, NLB. Tuy nhiên nó đòi hỏi thời gian tính toán lớn nhất. Do vậy phương pháp này không phù hợp khi giải quyết các bài toán có kích thước lớn. 2334487 1854093 873686 856173 813059 0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 Prufer NetKey LB LNB NB Phương pháp mã hóa Gi á t r ị t ố t n h ấ t
Hình 4.1 - Biểu đồ kết quả tốt nhất tìm được của 5 phương pháp mã hóa trên bộ dữ
liệu Raidl50
+ Kết luận
Với mục đích của luận văn là tìm hiểu về các kỹ thuật mã hóa cây và đánh giá hiệu quả của các kỹ thuật mã hóa cây để giải quyết bài toán cây khung truyền thông tối
ưu. Luận văn đã hoàn thành được những công việc sau:
• Tìm hiểu 5 kỹ thuật mã hóa cây.
• Tìm hiểu về bài toán cây khung truyền thông tối ưu, và các phương pháp đã có
để giải quyết bài toán.
• Từđó dựa trên thuật toán di tryền đề xuất một thuật toán áp dụng kỹ thuật tính toán tiến hóa để giải bài toán.
80
Luận văn đã đề xuất một giải thuật di truyền có cải tiến trong quá trình lai ghép dựa trên mô hình giải thuật di truyền chuẩn giải bài toán cây khung truyền thông tối ưu. Ý tưởng được đề xuất là kết hợp các thông tin trong quá khứ của các cá thể để hỗ trợ
trong quá trình tạo ra thế hệ mới trong thuật toán di truyền. Việc lưu trữ các thông tin trong quá khứ của cá thể chính là sự bảo toàn các gen tốt đã được tìm thấy trong những thế hệ trước đó và kết hợp sử dụng thông tin này trong việc tạo quần thể tiếp theo.
Năm phương pháp mã hóa cây khung thông dụng, và một phương pháp lai ghép cơ bản của thuật toán di truyền gốc đã được kiểm tra trong phần thử nhiệm thuật toán. Kết quả thực nghiệm trên 8 bộ test chuẩn được lấy từ [3]
Mặc dù luận văn đã hoàn thành được một số công việc nhất định tuy nhiên vẫn còn có rất nhiều hướng phát triển của thuật toán còn chưa được xét đến như:
• Việc khởi tạo quần thể ban đầu ở trong thuật toán vẫn là khởi tạo ngẫu nhiên, mặc dù ưu điểm của nó là làm cho quần thể ban đầu đa dạng nhưng đồng thời nó cũng làm tăng thời gian thực hiện của thuật toán. Vì thế có thể cải thiện hiệu quả của thuật toán bằng cách kết hợp thêm một số phương pháp khởi tạo quần thể heuristic khác như
sử dụng cây MST, khởi tạo cây khung hình sao, hay sử dụng thuật toán gần đúng để
khởi tạo (chẳng hạn thuật toán của R. K. Ahuja và V. V. S. Murty).
• Thời gian thực hiện của thuật toán vẫn còn lớn trên các bộ dữ liệu lớn. Một hướng có thể cải thiện thời gian thực hiện là kết hợp thêm các kỹ thuật localsearch (tìm kiếm cục bộ) để tăng tốc độ hội tụ của thuật toán.
• Một hướng khác để cải thiện thời gian thực hiện của thuật toán là tiến hành song song hóa thuật toán. Một ý tưởng là ta có thể chia quần thể ban đầu thành các quần thể
nhỏ hơn để chạy trên từng máy riêng, sau một số lượng k thế hệ nào đó thì tiến hành trao đổi thông tin giữa các quần thể con này.
81
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đức Nghĩa (2004), Bài giảng chuyên đề về phân tích và thiết kế thuật toán, trường đại học Bách Khoa Hà Nội.
[2] Toán rời rạc (năm 2004), Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành, nhà xuất bản
Đại Học quốc gia Hà Nội
[3] F. Rothlauf (2006), “Representations for Genetic and Evolutionary Algorithms”, 2nd edition, Springer.
[4] C.H. Papadimitriou and M. Yannakakis (1991), “Optimization, approximation, and complexity classes”, J. Comput. Syst. Sci., vol.43, pp.425–440.
[5] Lawler,E.L.and Kan, J.K. (1985), "The travelingSalesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimazation", John Wiley.
[6] Michael R. Garey and David S. Johnson (1978), Computers and Intractability, Freeman and Company San Francisco.
[7] Palmer, C. C. and A. KersheNBaum (1994), “Representing trees in genetic algorithms”, In Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, Volume 1, Piscataway, NJ, pp. 379–384.
[8] Alon, N., Karp, R. M., Peleg, D., & West, D. A (1995), Graph theoretic game and its application to the k-server problem. SIAM Journal on Computing, 78-100.
[9] Bartal, Y. (1996), "Probabilistic approximation of metric spaces and its algorithmic applications". In Proc. 37th IEEE Symp. on Foundations of Computer Science (pp. 184-193).
[10]Bartal, Y. (1998), "On approximating arbitrary metrics by tree metrics". In Proc. 30th Anual ACM Symp. on Theory of Computer Science (pp. 161-168).
82
[11]S. Arora, C. Lund, R. Motwani, M. Sundan, and M. Szegedy (1998), “Proof varification and the hardness of approximation problems,” Colloquium on Computational Complexity Report TR98-008, Univ. of Trier.
[12]C.C. Palmer and A. KersheNBaum (1995), “An approach to a problem in network design using genetic algorithms”, Networks, vol.26, pp.151–163.
[13]C.H. Papadimitriou and M. Yannakakis (1991), “Optimization, approximation, and complexity classes,” J. Comput. Syst. Sci., vol.43, pp.425–440.
[14]Charikar, M., Chekuri, C., Goel, A., Guha, S., & Plotkin, S. (1998, November). Approximating a nite metric by a small number of tree metrics. In Proc. 39th IEEE Symp. on Foundations of Computer Science (pp. 111-125).
[15]C. Papadimitriou and M. Yannakakis (1988), “Optimization, approximation, and complexity classes”, In STOC ’88: Proceedings of the twentieth annual ACM symposium on Theory of computing, pp. 229–234, New York, NY, USA,. ACM Press.
[16] C. Tzoppe, F. Rothlauf, and H.J. Pesch (Jan. 2004), “The edge-set encoding revisited: On the bias of a direct representation for trees” Working Paper in Information Systems, Univ. of Mannheim.
[17]D. E. Boyce, A. Farhi and R.Weischedel (1973), “Optimal Network Problem, A Branch and Bound Algorithm”, Environ. Plan. 5, pp. 519-533.
[18]F. Rothlauf, J. Gerstacker, and A. Heinzl (2003), “On the optimal communication spanning tree problem” Working Paper 10/2003, Univ. of Mannheim.
[19]F. Rothlauf, D.E. Goldberg, and A. Heinzl (2002), “Network random keys—A tree network representation scheme for genetic and evolutionary algorithms”, Evol. Comput., vol.10, no.1, pp.75–97.
83
[20]Garey,M.R., Johnson, D.S. (1979), “Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness”, W. H. Freeman, San Francisco, CA, USA.
[21]G. Gallo (1981), “A new Branch and Bound Algorithm for the Network Design Problem”, Report L 81-1, Instituto Di Elaborazione Dell Informazione, Pisa, Italy. [22]Goldberg, D. E.(1989), ”Genetic algorithms in search optimization and machine
learning”, Reading, MA: Addison-Wesley.
[23]H. H. Hoang (1973), “A Computational Approach to Selection of an Optimal Network”, Mgmt. Sci. 19, pp. 488-498.
[24]Holland, J. H. (1975), “Adaptation in Natural and Arti cial Systems”, University of MichigaNPress, Ann Arbor, MI.
[25]J.C. Bean (1994), “Genetic algorithms and random keys for sequencing and optimization”, ORSA J. Computing, vol.6, no.2, pp.154–160.
[26]J. Gottlieb, B.A. Julstrom, G.R. Raidl, and F. Rothlauf (2000), “Prufer numbers: A poor representation of spanning trees of evolutionary search”, Working Papers in Information Systems, Univ. of Bayreuth.
[27]Johnson, D. S., Lenstra, J. K., & Kan, A. H. G. R. (1978), The complexity of the network design problem. Networks, 8, p279-285.
[28]Kennedy, J., and Eberhart, R. C. (1995), “Particle swarm optimization”, Proc. IEEE International Conference on Neural Networks (Perth, Australia), IEEE Service Center, Piscataway, NJ, IV: 1942-1948.
[29]M. Gen and R. Chen (1997), “Genetic Algorithms and Engineering Design”, Wiley.
84
[30]Palmer, C. C. and A. KersheNBaum (1994), “Representing trees in genetic algorithms”, In Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, Volume 1, Piscataway, NJ, pp. 379–384.
[31]Raidl, G. R. and B. A. Julstrom (2000), “A weighted coding in a genetic algorithm for the degree-constrained minimum spanning tree problem”, In J. Carroll, E. Damiani, H. Haddad, and D. Oppenheim (Eds.), Proceedings of the 2000 ACM Symposium on Applied Computing, pp. 440–445.
[32]R. Dionne and M. Florian (1979), “Exact and Approximate Algorithms for Optimal Network Design, Networks”, pp. 37-59.
[33]R. K. Ahuja and V. V. S. Murty (August 1987), “Exact and Heuristic Algorithms for the Optimum Communi-cation Spanning Tree Problem”, Transportation Science, 21(3):163–170.
[34]Reshef, E, (1999), “Approximating minimum communication cost spanning trees and related problems”, Master’s thesis, Feinberg Graduate School of the Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel.
[35]Peleg, D.(1997), Approximating minimum communication spanning trees. Proc. 4th Colloq. on Structural Information and Communication Complexity, Ascona, Switzerland.
[36]Peleg, D., & Reshef, E. (1998), Deterministic polylog approximation for minimum communication spanning trees. Lecture Notes in Computer Science, 1443, 670- 682.
[37]Sang-Moon SOAK (2006), “A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem”, IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, E89-A(10):2882-2893.
85
[38]Steven S. Skiena (2008), The Algorithm Design Manual, Second Edition, Springer-Verlag London Limited.
[39]Kennedy, J., and Eberhart, R. C.(1995), “Particle swarm optimization”, Proc. IEEE International Conference on Neural Networks (Perth, Australia), IEEE Service Center, Piscataway, NJ, IV: 1942-1948.
[40]Steitz, Wolfgang. Rothlauf (2009), “New insights into the OCST problem: Integrating node degrees and their location in the graph”, GECCO 2009.
[41]T. C. Hu (1974), “Optimum Communication Spanning Tree Problem”, SIAM J. Comput. 3, pp. 188-195.
[42]T. Fischer (2007), “Improved Local Search for Large Optimum Communication Spanning Tree Problem”, MIC'2007-7th Metaheuristics International Conference. [43]Thomas Fischer, Peter Merz (October 2007), “A Memetic Algorithm for the
Optimum Communication Spanning Tree Problem”. 4th International Workshop on Hybrid Metaheuristcs.
[44]Xiaodong et al.(2006), “A hybrid algorithm based on Particle Swarm Optimization”,
[45]Wu, B. Y., Lancia, G., Bafna, Y., Chao, K. M., Ravi, R., & Tang, C. Y. (1998,
January), A polynomial time approximation schem for minimum routing cost spanning trees. In Proc. 9th ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms (pp. 21- 32).